InAequabilitas

Category : 数学

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解答解説

triangle2
まずこの補助線付きの図を見て、それでも何のことやら解らなければ追記へ。
もう少し条件を足すと、∠FBC=20°である。
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簡単そうで難しい問題

今度は逆を行ってみよう。これは世界的に有名な難問なのだそうだが、実は中学数学のレベルで解けてしまう。偉そうなものをやりすぎると簡単な発想ができなくなってしまう僕らというのは何だか悲しい。

triangle
図において三角形ABCはAB=ACの二等辺三角形である(∠A=20°)。辺AC上に点Dをとり、∠EBD=20°とする。また、辺AB上に点Eをとり、∠DCE=30°とする。そしてDとEを連結する。
このとき∠EDBは何度か。


ちなみに解題の鍵は「円周角」。

解答解説

この問題は中学一年レベルの数学しか必要としない。問題の雰囲気からなんとなく判らないこともないけれども。

ではまず斜辺の長さをaとおき、直角辺(判らない方)の長さをbとおこう。すると三平方の定理より
a^2 = b^2 + 11^2
変形すると a^2 – b^2 = 121、 つまり(a-b)(a+b) = 121
整数に整数を足しても、整数から整数を引いても、答えはどちらも整数である。よって左辺は二つの整数の積となる。
121の正の約数には1,121と11,11の組み合わせしかないが、辺の長さは0になり得ないのでa-b=1、a+b=121ということになる。
解答にはa+b+11しか必要としないので答えは132。ついでに各々の具体的な数字を出してみるとa=61、b=60 (ついでにもう一辺は11)という三角形が出来上がる。細長い。

難しそうで簡単な問題

与えられた条件が少なければ少ないほど難しい問題だというのはまあ大体の場合正しい。そのため既知条件が少ないと見ただけで難しそうだと感じてしまうものがある。
―という面白い問題を見かけたので載せてみよう。

片方の直角辺の長さが11である直角三角形がある。もう片方の直角辺と斜辺の長さはいずれも整数である。このとき、この三角形の周の長さを求めよ。


訳しながら自分の日本語力の低下に気付いた…。「斜辺」に対するのは「直角辺」?そんな日本語があったという自信がない(adjacentに対する訳のつもり)。ついでに三角形の三辺の長さの合計のことを「周の長さ」というのかも自信がない。(苦笑

0は詐欺師

論理で必ずと言っていいほど出題される引っ掛け問題がある。

ac = bc ( ) a = b
この括弧内に入る矢印の向きは下のうちどれか。
1: 右 2: 左 3: 両側 4: どれでもない

まあ結論から言えば回答は2番だ。さすがに4を選択する生徒はいないと思うが(汗)、最も考えられる誤答例は3だろう。
しかし、しかしである。c=0の場合はどうだろう。
aがマイナス一億でbが5793.33567(数の選択に意味は無い!)でもac=bc(=0)は成り立ってしまう。

0は詐欺師。気付かぬ場所に紛れ込んで数式を狂わせる。


さて、前の証明を見直してみよう。いちいち下にスクロールするのも面倒なので再掲。
zeroproof

因数分解までは、いい。全く問題ない。
だがその次だ。両辺を(a-b)で割っている。
仮定を見直してみると…a=b。つまりa-b=0となる。
ゼロ除算の発生。分数の基本の話である。ゼロ除算は定義されない。

ゼロ除算のついでに言うが、ゼロのゼロ乗も定義されない。0は何乗しても0だが、何を0乗しても1と決まっているので矛盾が生じてしまうからだ。
うーん。ゼロは面倒かもしれない。

Irony, Satire and Truth

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北落師門

Author:北落師門
特徴: 研究者気質(何)、厭世家、人嫌い、典型的ブックワーム。
大量の学問だけで出来ていると思う。詭弁と皮肉で武装している。
目の悪さが半端ない。あと、電話と食事と世間話が天敵。
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